发表在 Production and Operations Management, 2017. DOI: https://doi.org/10.1111/poms.12695.
Key words: supply risk management; signal-based supply forecast; multi-sourcing; discretionary selling
文章首先对供应链的供给能力进行时间序列建模。假定有 $m$ 个供应商，组成集合 $\mathcal{M}$，时间用倒序的方式标记 $\{T, T-1, \dots, 1\}$。随机变量 $\mathcal{K}_t^i$ 表示供应商 $i$ 在时刻 $t$ 的供给产能，$\{\mathcal{K}_t^i\}_{i, t}$ 为产能时间序列。在每个时刻 $t$ 开始的时候，能够观测到此刻产能的实现 $(K_t^1, \dots, K_t^m)$。
此外，我们可以通过信号 $\theta_{t}^i$ 来预测下一时刻的真实产能 $K_{t-1}^i$，设为随机变量 $K_{t-1}^i (\theta_{t}^i)$。文章接着对模型做了三点假设：一是 $K_{t-1}^i (\theta_{t}^i)$ 关于 $\theta_t^i$ 是随机递增的，这说明 $\theta_t^i$ 越大的话，我们对产能 $K_t^i$ 的估计就更大；二是 $\theta_t^i$ 是 $K_{t-1}^i(\theta_t^i)$ 的充分统计量，这意味着 $K_{t-1}^i(\theta_t^i)$ 与 $\theta_t^j \;(j \neq i)$ 是无关的；三是信号 $\{\theta_t^i\}_{t}$ 服从一个外生的 Markov 过程。
在时刻 $t$，每个供应商有购买成本 $c_t^i$，供给产能 $K_t^i$，供给信号 $\theta_t^i$ .
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首先，我们观察到状态 $(I_t, K_t, \theta_t)$，接着做出补货决策 $x_t=(x_t^1, x_t^2\dots, x_t^m)$，这里付出了采购成本 $c_t \cdot x_t = \sum_{i=1}^m c_t^i x_t^i$，注意到这里有限制 $x_t^i \leq K_t^i$.
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采购决策将库存水平提升至 $J_t = I_t + |x_t|$，其中 $|x_t| = \sum_{i=1}^m x_t^i$ .
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此后，观察到需求 $D_t$ 的样本，做出销售决策 $y_t = (y_t^1,y_t^2 \dots, y_t^n)$，产生利润 $\tilde{r}_t \cdot y_t = \sum_{j=1}^n \tilde{r}_t^j y_t^j$ 和缺货损失 $\sum_{j=1}^n b_t^j (D_t^j - y_t^j)$ .
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最后，产生库存持有成本 $h_t(I_{t-1})$，$h_t(0)=0$ .
动态规划： $$ \begin{aligned} &V_t\left(I_t, K_t, \theta_t\right)=\max _{0 \leq x_t \leq K_t}\left\{-\sum_{i=1}^m c_t^i x_t^i+\mathbb{E}_{D_t} \left[\max _{0 \leq y_t \leq D_t}\left(\sum_{j=1}^n \tilde{r}_t^j y_t^j-\sum_{j=1}^n b_t^j\left(D_t^j-y_t^j\right)-h_t\left(I_{t-1}\right)\right)\right]\right\}\\ & \quad \forall t \in \mathcal{T}, \qquad \text{ where } \; I_{t-1} = I_t - |x_t| + |y_t| \\ & \quad V_0(\cdot, \cdot, \cdot) = 0 \end{aligned} $$ 根据递归式，$V_t(\cdot, \cdot, \cdot)$ 是在信号预测 $\{K_{t-1}(\theta_t)\}_t$ 下可以获得的最高利润。
定义 $$ \begin{aligned} & V_t\left(I_t, K_t, \theta_t\right)=\max_{0 \leq x_t \leq K_t} \left\{H_t\left(I_t, x_t, \theta_t\right)\right\} \\ & H_t\left(I_t, x_t, \theta_t\right)=-c_t \cdot x_t+\mathbb{E}_{D_t}\left\{W_t\left(I_t+\left|x_t\right|, D_t, \theta_t\right)\right\} \\ & W_t\left(J_t, D_t, \theta_t\right)= \max_{0 \leq y_t \leq D_t} \left\{G_t\left(J_t, y_t, \theta_t\right)-b_t \cdot D_t\right\} \\ & G_t\left(J_t, y_t, \theta_t\right)=r_t \cdot y_t-h_t\left(J_t-\left|y_t\right|\right)+\gamma \mathbb{E}_{\left(K_{t-1}, \theta_{t-1}\right)} {\left[V_{t-1}\left(J_t-\left|y_t\right|, K_{t-1}, \theta_{t-1}\right) \mid \theta_t\right]} \\ \end{aligned} $$ 文章的定理1指出，$G_t\left(J_t, y_t, \theta_t\right)$ 关于 $(J_t, y_t)$ 是连续可微且 jointly concave.
证明使用了归纳法，假设 $V_{t-1}(\cdot, \cdot, \theta_{t-1})$ 是 jointly concave.
于是 $W_t(J_t, D_t, \theta_t)$ 关于 $(J_t, D_t)$ 也是 jointly concave. 同理可知 $H_t, V_t$ 的凹性。