发表在 Management Science, 1979. DOI: https://doi.org/10.1287/mnsc.25.5.498.
Keywords: facilities/equipment planning; inventory/production operating characteristics; inventory/production-stochastic models
这篇文章在报童模型的设定下比较了中心化库存和分散化库存的总费用，说明了在一定条件下，中心化库存 (inventory pooling) 能带来费用的下降。
假设在 $N$ 个 location 同时面临一个报童问题，需求 $\xi_i \;(1\leq i\leq N )$ 服从正态分布 $N(\mu_i, \sigma_i^2)$ ，另有协方差 $\sigma_{ij}$ 和相关系数 $\rho_{ij}$ 。此外 $\sigma_i / \mu_i$ 足够小使得正态分布负的部分足以忽略。
如果单位库存费用是 $h$，缺货代价是 $p$，则期望的总费用关于订货量 $y$ 的关系是： $$ H_i(y) = h\mathrm{E}(y - \xi)^{+} + p \mathrm{E}(\xi - y)^{+} $$ 记 $\phi_i(\cdot), \, \Phi_i(\cdot)$ 分别是概率密度和累计分布函数，则 $H_i(y)$ 可以得到解析表达式： $$ \begin{aligned} H_{i}(y) & = \int_{-\infty}^{y} h \cdot(y-\xi) \phi_{i}(\xi) d \xi+\int_{y}^{\infty} p \cdot(\xi-y) \phi_{i}(\xi) d \xi \\ & = h\cdot \left( \int_{-\infty} ^{\infty} (y - \xi) \phi_i(s) d \xi - \int_{y} ^{\infty} (y - \xi) \phi_i(s) d \xi \right) + \int_{y}^{\infty} p \cdot(\xi-y) \phi_{i}(\xi) d \xi \\ & = hy-h\mu_i + (h+p) \int_{y}^{\infty} (\xi -y) \phi_i(\xi) d\xi \\ & = h y-h \mu_{i}+(h+p) \sigma_{i} R\left(\frac{y-\mu_{i}}{\sigma_{i}}\right)\\ \end{aligned} $$
其中 $R(u)=\displaystyle\int_{u}^{\infty}(w-u) \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-w^{2} / 2} d w$ .
关于报童问题有一个经典的结论就是，存在一个最优的订货量，且最优订货量是需求分布的某个分位数，在这里，这个分位数是 $p/(p+h)$，也就是说，如果 $\bar{y}_i$ 是最优订货量，那么 $$ \Phi_i(\bar{y}_i) = \frac{p}{p + h} $$ 在正态分布这种场景下，$\bar{y}_i = \mu_i + \bar{z} \sigma_i$，$\bar{z}$ 是正态分布 $p/(p+h)$ 的分位数。这是一个需求分布为 $N(\mu_i, \sigma_i^2)$ 的 location 需要备的库存。
经计算可以发现，单个 location 最优订货量下的期望费用是需求分布标准差的某个倍数！ $$ H_{i}\left(\bar{y}_{i}\right)=[h \bar{z}+(h+p) R(\bar{z})] \sigma_{i} = K\sigma_i $$ 记这个倍数为 $K$。
如果这些 location 分散化 (decentralization) 库存的话，那么这时候的总费用是： $$ TC_D = K \sum_{i=1}^N \sigma_i $$ 如果这些 location 把它们的库存集中起来，那么它们集体面对的需求总和是 $N\left(\displaystyle\sum_{i=1}^N \mu_i, \sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sigma_i \sigma_j\right)$，这也是一个正态分布，所以总费用是： $$ TC_C = K \sqrt{\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^N \sigma_i \sigma_j} $$ 结合概率论的知识，我们能注意到两点结论：
- $TC_C \leqslant TC_D$，即中心化的库存能够节约成本
- 当且仅当对任意 $i, j$ 都有 $\rho_{ij}=1$ 时，$TC_C = TC_D$
如果 $N$ 个 location 的需求独立同分布的话，那么 $TC_C = \sqrt{N} K\sigma = TC_D / \sqrt{N}$，也就是说，地点个数的增加，中心化带来的费用降低也越多。
文章的结论是非常直接明了的，库存的本质就是对抗需求的不确定性，这种不确定性可以用变异系数（标准差除以均值）来衡量。在独立同分布的情况下，两家店把需求统一在一起，均值扩大为原来的两倍，但标准差只变为原来的 $\sqrt{2}$ 倍，这样做实质上降低了需求的不确定性。
这个模型虽然简单，但也有着非凡的现实意义。开设一家中心化的网店，相比开设若干家线下门店，即便二者每天的客户需求相近，前者也能节约更多的库存成本。
另外，将库存集中起来，既可以是物理上放置在同一个仓库，也可以是虚拟的、逻辑上的集中。
Eppen (1979) 这篇开创性的文章说明了集中化库存最理想能有 $\sqrt{N}$ 程度的费用的节约，这是建立在正态需求分布和没有调货费用的前提下。
只要把原问题变得更复杂，或是修正前提条件，就能得到一个值得研究的新问题！
比如：On the Benefits of Risk Pooling in Inventory Management, POM, 2011. 研究了其它参数分布和非参数分布需求下集中化库存带来的费用节约，它们发现需求分布的变异系数会很大地影响集中化库存的效果。
Inventory Pooling Under Heavy-Tailed Demand, MS, 2016. 研究了重尾分布下的库存池。他们发现需求分布尾部概率越大的时候，集中化库存带来的效益越低。
还有一大类文章研究供应链的转运（transshipment），它们把调货费用添加到问题背景中。
较为经典的，如 A Two-Location Inventory Model with Transshipment and Local Decision Making, MS, 2001. 考虑了两个不同地点的报童，当一方有库存剩余而另一方有满足不了的需求时，就可以通过转运增加整体的利润。文章研究了公司内（两个报童是利益共同体）和公司间（两个报童进行博弈）的报童转运问题。
后续的研究，有些将两个报童扩展为多个，研究供应链网络。如 Optimal Policies for Transshipping Inventory in a Retail Network 研究供应链网络的最优转运策略
在 A Two-Location Inventory Model with Transshipment and Local Decision Making 这个基础模型之上，近年有较多的文章开始考虑行为（behavior）对这个系统造成的影响。
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如 Inventory Sharing and Demand-Side Underweighting, MSOM, 2021. 通过调查和实验分析了行为因素对多地点库存的影响，他们发现实践当中经理的订货量往往偏低，并建立了一套理论模型加以解释。
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Transshipment Between Overconfident Newsvendors, POM, 2021. 研究了过度自信的报童，他们建立理论模型发现，如果报童是过度自信的话，公司间的库存共享可能导致双方的利润降低。
（后续的文献，大都包含关键词 inventory pooling, inventory sharing, transshipment。）