在金融数学中，risk measure 用来度量一组资产的风险。经典的 MPT 使用方差作为风险的度量，
令 $(\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P})$ 是一个概率空间，$\mathcal{L}$ 是其上所有可积的随机变量，risk measure $\rho$ 指的是 $\mathcal{L} \to [-\infty, +\infty]$ 的泛函。
Risk measure 经常提到如下的几个性质：
- Monotonicity: $\rho(X) \leqslant \rho(Y)$ if $X \leqslant Y$.
- Translation invariance: $\rho(X+c)=\rho(X)+c$ for any $c \in \mathbb{R}$.
- Positive homogeneity: $\rho(\lambda X)=\lambda \rho(X)$ for any $\lambda>0$.
- Subadditivity: $\rho(X+Y) \leqslant \rho(X)+\rho(Y)$.
满足以上四点的度量称为 coherent risk measure。
Dispersion Measures
Downside Risk Measures
Value at Risk
在险价值 VaR 是一种常用的风险测度。假设一个投资组合的损失 $L = -r^T w$，则它置信度为 $1-\alpha$ 的 VaR 指的是概率不超过 $\alpha$ 的最大损失。 $$ \begin{aligned} \text{VaR}_{1-\alpha}(L) = & \inf\, \{x : \mathrm{P}(L \leqslant x) \geqslant 1-\alpha\} = \inf\, \{x : \mathrm{P}(L > x) \leqslant \alpha\} \\ = & \inf\, \{x: F_L(x) \geqslant 1- \alpha \} \end{aligned} $$
如果 $L \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma^2)$，则 $\text{VaR}_{1-\alpha}(L) = \mu + z_{1-\alpha} \sigma$ .
VaR 不是一致性风险测度，因为它不满足次可加性 (subadditivity)。
对于 VaR 和机会约束 (chance constraint)，有如下的等价关系：【待确定】 $$ \text{VaR}_{1-\alpha} (L) \leqslant t \,\Longleftrightarrow \, \mathrm{P}(L \leqslant t) \geqslant 1-\alpha $$
VaR 的优化
对于一个投资组合 $r^Tw$ 来说，最小化它的 VaR，即 $\displaystyle\min_{w}\, \text{VaR}_{1-\alpha}(-r^T w)$ 等价于如下的优化问题： $$ \begin{aligned} \min_{\gamma, \,w} \; & \gamma \\ \text{s.t. } & \mathrm{P}(-r^T w > \gamma) \leqslant \alpha \\ & \sum_{i=1}^n w_i = 1 \end{aligned} $$ 假设我们只有 $S$ 个 sample/senario，记 $y_s = \begin{cases}0, & \text{otherwise} \\ 1, & -\hat{r}_s^T w > \gamma \end{cases}$，则有： $$ \begin{aligned} \min_{\gamma, \, \vec{y}, \, w} \; & \gamma \\ \text{s.t. } & \sum_{s=1}^S y_s \leqslant \lfloor \alpha \cdot S\rfloor \\ & \sum_{i=1}^n w_i = 1,\;\, y_s = \begin{cases}0, & \text{otherwise} \\ 1, & -\hat{r}_s^T w > \gamma \end{cases} \end{aligned} $$ 于是该问题最终可以写成： $$ \begin{aligned} \min_{\gamma, \, \vec{y}, \, w} \; & \gamma \\ \text{s.t. } & -\hat{r}_s^T w \leqslant \gamma + \mathrm{M} \cdot y_s, \; s=1, \dots, S \\ & \sum_{s=1}^S y_s \leqslant \lfloor \alpha \cdot S\rfloor \\ & \sum_{i=1}^n w_i = 1, \;\, y_s \in \{0, 1\} \end{aligned} $$ 这是一个混合整数优化问题！
Conditional Value at Risk
CVaR 是一个一致的风险测度。 $$ \text{CVaR}_{1-\alpha}(L) = \frac{1}{\alpha} \int_\alpha^1 \text{VaR}_u(L) \mathrm{d} u = \mathbb{E} [L \mid L \geq \text{VaR}_{1-\alpha}(L)] $$
Portfolio Optimization with CVaR
CVaR 有一个计算表达式： (Rockfellar & Uryasev 2000) $$ \text{CVaR}_{1-\alpha}(L) = \min_{\xi\in \mathrm{R}} \left[ \xi + \frac{1}{\alpha}\mathrm{E}(L-\xi)^+\right] $$
优化 CVaR 是一个线性非整数的问题，对于 $\displaystyle\min_w \text{CVaR}_{1-\alpha} (-r^T w)$，利用上述命题，可以得到它的等价转化：
$$ \begin{aligned} \min_{\xi, \, \vec{y}, \, w} \; & \xi+\frac{1}{\alpha \cdot S} \sum_{s=1}^{S} y_{s} \\ \text {s.t. } & y_{s} \geq -\hat{r}_s^T w -\xi, \; s=1, \ldots, S \\ & \sum_{i=1}^{n} w_{i}=1, \; y_{s} \geq 0,\, s=1, \ldots, S \end{aligned} $$
对于一个特定的投资组合，即确定 $w$，解上述线性规划，可以得到这个投资组合的 CVaR。
对于给定的 $\text{CVaR}_{1-\alpha}$ level $\beta$，找到期望收益最大的投资组合，这个问题是： $$ \begin{aligned} \min_{\xi, \, \vec{y}, \, w} \; & - \frac{1}{S} \sum_{s=1}^S \hat{r}_s^T w \\ \text{s.t. } & \xi + \frac{1}{\alpha \cdot S} \sum_{s=1}^{S}(-\hat{r}_s^T w-\xi)^+ \leqslant \beta\\ & \sum_{i=1}^n w_i = 1\\ \end{aligned} $$ 引入 $y_s = (-\hat{r}_s^T w -\xi)^+$，有： $$ \begin{aligned} \min_{\xi, \, \vec{y}, \, w} \; & - \frac{1}{S} \sum_{s=1}^S \hat{r}_s^T w \\ \text{s.t. } & \xi + \frac{1}{\alpha \cdot S} \sum_{s=1}^{S} y_s \leqslant \beta\\ & y_s \geqslant -\hat{r}_s^T w -\xi, \;y_s \geqslant 0, \; s=1,\dots, S\\ & \sum_{i=1}^n w_i = 1\\ \end{aligned} $$
- Law determination: $\rho(X)=\rho(Y)$ if $X$ and $Y$ have the same distribution.