发表在 Management Science, 2006. DOI: https://doi.org/10.1287/mnsc.1050.0451.
Key words: decision analysis; optimization; optimizer’s curse; Bayesian models; postdecision surprise; disappointment
一个分析团队刚刚将复杂分析的结果提交给负责决策的高管。分析人士建议做一项创新投资，并声称，尽管该投资并非没有风险，但它具有巨大的正预期净现值。这位高管倾向于遵循团队的建议，但她回忆，在过去遵循这些建议后，结果有些失望。虽然分析似乎公平公正，但她还是忍不住感到有点怀疑。她的怀疑有道理吗？
这是文章开头抛出的问题。这个问题的背后，就是 optimizer's curse。
Optimizer’s Curse
假如决策者要考虑 $n$ 个 alternative，它们的真实效用值是 $\mu_1, \dots, \mu_n$，但是决策者是不知道的；决策者只能通过分析得到 $n$ 个效用的估计值 $V_1, \dots, V_n$，然后选择估计效用最大的那个选项。
假设 $V_{i^\ast} = \displaystyle\max_i\, V_i$，那么平均来说 postdecision suprise 等于 $\mathrm{E}[\mu_{i^\ast} - V_{i^\ast}]$，这是实际效用与期望效用的差值。即便 $V_i$ 都是 $\mu_i$ 的无偏估计，$\mathrm{E}[\mu_{i^\ast} - V_{i^\ast}]$ 仍然可能是负的。
文章接着用一些例子来说明这个。
假定 $\mu_1=\mu_2=\mu_3$，估计值 $V_i \sim \mathcal{N}(0, 1)$，那实际上我们期待的效用值 $V_{i^\ast}$ 是三个标准正态分布取最大，$\mathrm{E}[\mu_{i^\ast} - V_{i^\ast}]$ 是负的。
如下图，我们做决策的 disappointment 随着选择的增加而增加。
$\mu_i$ 的（正）相关性会增大这种影响，$V_i$ 的正相关性会减小这种影响。
此外，文章还谈论了 optimizer's curse 对 "value added" 的影响。
Value added: the difference between the estimated value of the optimal alternative identified in the analysis and the estimated value of a default alternative (or current plan) that would have been chosen if no analysis were done.
What to Do
文章用例子说明了 optimizer's curse 可能对决策产生实质性的影响，接着文章提出了两个问题：
- How should we adjust our value estimates to eliminate this effect?
- How should it affect decision making?
文章提出用贝叶斯统计的方式来处理 optimizer's curse。
假设真实效用 $\boldsymbol{\mu} = (\mu_1, \dots, \mu_n)$，估计值 $\boldsymbol{V} = (V_1, \dots, V_n)$ 由 $\boldsymbol{V} \mid \boldsymbol{\mu}$ 来刻画，于是我们可以使用贝叶斯法则得到后验分布 $\boldsymbol{\mu} \mid \boldsymbol{V}$ . 令 $\boldsymbol{v} = \mathrm{E}[\boldsymbol{\mu \mid \boldsymbol{V}}]$，则 $\hat{v}_{i^\ast}$ 是一个好的估计。
这一部分文章使用的很多贝叶斯统计的工具。主要假设了高斯先验。
Related Biases and “Curses”
文章在第四部分比较了其它的 "curses"。
比如 winner’s curse，拍卖中出价最高的一方往往支付了超过拍品本身价值的钱。
比如幸存者偏差，optimizer's curse 可以看成是只有一个幸存者的情况。
总结
这篇文章只有12页。思想深刻，理论精炼。
文章提到，虽然 optimizer's curse 在实践中经常遇到，但是用实际数据证明它可能是很难的。
文章提炼了一下 optimizer's curse: If decision makers take the value estimates resulting from an analysis at face value and select according to these estimates, then they should expect to be disappointed on average, not because of any inherent bias in the estimates themselves, but because of the selection process itself.
解决问题的思路：treat the results of the analysis as uncertain and combine these results with prior estimates of value using Bayes’ rule before choosing an alternative.
最后，文章回答了一开始提出的问题。是的，怀疑非常有道理；要做出好的决策，必须要克服 optimizers' curse。