发表在 Operations Research, 2010. DOI: https://doi.org/10.1287/opre.1090.0741.
Subject classifications: programming: stochastic; statistics: estimation; finance: portfolio.
Area of review: Optimization.
这篇文章讲的是 moment-based DRO . 文章一共就四章。
在我眼里，文章有俩可以说的贡献，一个是建模了moment-based DRSP，另一个是给出了协方差矩阵的置信区间。
Robust Stochastic Programming with Moment Uncertainty
这一章讲述如何构建带有矩不确定性的 DRSP 模型。
目标函数 $$ \underset{\mathbf{x} \in \mathscr{X}}{\operatorname{minimize}}\left(\max _{F \in \mathscr{D}} \mathbb{E}_{F}[h(\mathbf{x}, \boldsymbol{\xi})]\right) \tag{DRSP} $$ 对于不确定参数 $\boldsymbol{\xi}$，我们能从经验分布得到它的均值 $\boldsymbol{\mu}_0$ 和协方差矩阵 $\boldsymbol{\Sigma}_0$；文章提出了一类不确定集： $$ \begin{align} &\left(\mathbb{E}[\boldsymbol{\xi}]-\boldsymbol{\mu}_{0}\right)^{\top} \boldsymbol{\Sigma}_{0}^{-1}\left(\mathbb{E}[\boldsymbol{\xi}]-\boldsymbol{\mu}_{0}\right) \leqslant \gamma_{1} \tag{1a} \\ &\mathbb{E}\left[\left(\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{\mu}_{0}\right)\left(\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{\mu}_{0}\right)^{\top}\right] \preceq \gamma_{2} \boldsymbol{\Sigma}_{0} \tag{1b} \\ \end{align} $$ 其中 $\gamma_1, \gamma_2$ 是参数。(1a) 用一个椭球来限制 $\boldsymbol{\xi}$ 的均值，(1b) 用一个矩阵不等式限制 $\boldsymbol{\xi}$ 的协方差矩阵。
由此，文章定义了 distribution set: $$ \mathscr{D}_{1}\left(\mathscr{S}, \boldsymbol{\mu}_{0}, \boldsymbol{\Sigma}_{0}, \gamma_{1}, \gamma_{2}\right) = \left\{\begin{array}{l|l} F \in M & \begin{array}{l} \mathbb{P}(\boldsymbol{\xi} \in \mathscr{S})=1 \\ \left(\mathbb{E}[\boldsymbol{\xi}]-\boldsymbol{\mu}_{0}\right)^{\top} \boldsymbol{\Sigma}_{0}^{-1}\left(\mathbb{E}[\boldsymbol{\xi}]-\boldsymbol{\mu}_{0}\right) \leqslant \gamma_{1} \\ \mathbb{E}\left[\left(\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{\mu}_{0}\right)\left(\boldsymbol{\xi}-\boldsymbol{\mu}_{0}\right)^{\top}\right] \preceq \gamma_{2} \boldsymbol{\Sigma}_{0} \end{array} \end{array}\right\} $$
Inner Moment Problem
记内层问题的最优值 $\Psi(\boldsymbol{x}; \gamma_1, \gamma_2) = \displaystyle\max_{F \in \mathscr{D}} \mathbb{E}_{F}[h(\mathbf{x}, \boldsymbol{\xi})]$，文章把它化成了一个非凸优化 .... 其中一个约束条件看上去不是凸的。
然后开始 argue，就算非凸 也能在多项式时间内解决。用的是椭球算法，假设一些（不靠谱的？） oracle，推了几个结论出来。
Distributionally Robust Stochastic Program
考虑整体的DRSP优化问题，举了几个例子，感觉比较有意义的是 DR-CVaR.
Moment Uncertainty in Data-Driven Problems
这一章其实就是想表达：在有限样本下，根据经验分布构造的 moment-based distributional set 有极高的概率包含了真实分布。
文章假设随机向量 $\boldsymbol{\xi}$ 是有界的，我个人感觉这个假设是很强的，一些结论也许放宽到次高斯分布也成立。
Corollary 1 表明了样本均值 $\hat{\boldsymbol{\mu}} = (1/M) \sum_{i=1}^M \boldsymbol{\mu}_i$ 是可以很接近。
Theorem 2 是文章自己推出来的关于协方差矩阵的结论。
总之，文章说明了，可以找到 $\bar{\gamma}_1(\bar{\delta}),\, \bar{\gamma}_2(\bar{\delta})$ 使得 distribution set $\mathscr{D}_{1}\left(\mathscr{S}, \boldsymbol{\mu}_{0}, \boldsymbol{\Sigma}_{0}, \gamma_{1}, \gamma_{2}\right)$ 以 $1-\bar{\delta}$ 的概率包含 $\boldsymbol{\xi}$ 的真实分布。
Application to Portfolio Optimization
拿投资组合做了个例子，假设的 piecewise linear and concave 效用函数。
小结：大四上初看，看不咋懂，研一下重看，有了些别样的收获。个人认为本文的理论意义大于实践意义，假设过强，结论欠缺些优美。