发表在 Production and Operations Management, 2010. DOI: https://doi.org/10.3401/poms.1080.01194.
Key words: facility location; robust optimization; uncertainty; robust counterpart
这是一篇中规中矩的讲述利用经典鲁棒优化方法来解决选址问题的文章。
关于经典的选址问题及其求解，参考：选址问题及其Gurobi求解
This paper contributes to the literature by formulating robust models for a facility location problem, and by providing insights into the solution structure.
名义模型是：
令 $G(N, A)$ 是一个连通图，$d_{ij}$ 表示两点间的运输成本（距离），$Z_{i0}$ 是 $i$ 处设施的最大生产能力，$C_{i0}$ 是建设单位产能的成本，$c_{it}$ 是 $t$ 时刻 $i$ 处生产的单位成本，总的周期数是 $T$ ，$K_i$ 是建设的固定成本，
决策变量 $I_i$ 表示是否在 $i$ 处选址，$Z_{it}$ 是设施 $i$ 在时刻 $t$ 的产量，$X_{ijt}$ 表示 $t$ 时刻 $j$ 处的需求被 $i$ 处满足的比例。
每一单位的销售额产生 $\eta$ 的利润，先假设需求的确定的，目标是最大化利润。
$$ \begin{aligned} \max _{\mathbf{X}, \mathbf{Z}, \mathbf{I}, \mathbf{Z}_{0}, \tau} & \tau \\ \text{s.t. } & \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \sum_{t=1}^{T}\left(\eta-d_{i j}\right) D_{j t} X_{i j t}-\sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} c_{i t} Z_{i t} -\sum_{i=1}^{N}\left(C_{i 0} Z_{i 0}+K_{i} I_{i}\right) \geq \tau \\ & \sum_{j=1}^{N} D_{j t} X_{i j t} \leq Z_{i t} \quad \text { for all } i, t \\ & \sum_{i=1}^{N} X_{i j t} \leq 1 \quad \text { for all } j, t \\ & Z_{i 0} \leq M I_{i} \quad \text { for all } i \\ & Z_{i t} \leq Z_{i 0} \quad \text { for all } i, t \\ & X_{i j t} \geq 0 \\ & I_{i} \in\{0,1\} \quad \text { for all } i, j, t \end{aligned} $$
这个名义模型是一个 MILP.
Box Uncertainty
假定需求有如下的不确定性： $D_{jt} \in U_{i t}^{B}=\left[\bar{D}_{j t}\left(1-\varepsilon_{t}\right), \bar{D}_{j t}\left(1+\varepsilon_{t}\right)\right]$
问题仍旧转化为一个MILP
Ellipsoidal Uncertainty
假定需求有如下的不确定性：$U_{1}^{E}=\left\{\tilde{D} \in \Re^{N T} \mid \sum_{j=1}^{N} \sum_{t=1}^{T}\left[\frac{\tilde{D}_{j t}-\bar{D}_{j t}}{\varepsilon_{t} \bar{D}_{j t}}\right]^{2} \leq \Omega_{1}^{2}\right\}$
问题变成一个MISOCP
Numerical Study
文章用数值模拟来比较三种方法。
鲁棒方法倾向于设置少的 facility 并且建设较大的生产能力，存在较多的运输，会出现一个点同时满足好几个点的需求这种情况；同时鲁棒方法能保证需求的满足。
文章接下来比较了三种方法的表现（利润），总的来说椭球不确定集的鲁棒优化方法表现较好。