非负的随机变量有一些特殊的性质。
首先，如果随机变量 $X$ 的期望存在，那么：
$$ \mathrm{E}X=\int_0^{\infty}[1-F(x)]\mathrm{d}x-\int_{-\infty}^0F(x)\mathrm{d}x \tag{1} $$
$F(x)$ 是 $X$ 的分布函数。这个式子可以用 $F(x)$ 的曲线与坐标轴围成的面积来辅助记忆。 关于证明，需要用反常积分的理论证明
$$ \lim_{x\to-\infty}xF(x)=0\; ;\lim_{x\to+\infty}x[1-F(x)]=0 $$
如果 $X$ 是非负随机变量，那么直接就有
$$ \mathrm{E}X=\int_0^{\infty}[1-F(x)]\mathrm{d}x $$
如果 $X$ 只取非负整数，那么很明显，根据上式，直接就有：
$$ \mathrm{E}X=\sum_{n=1}^{+\infty}P(X\ge n)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(X>n) $$
（ps： 如果 $X$ 取全体整数，通过式 (1) 可以很容易得到相似结论）
一般地，对于随机变量 $X$，如果它的 $n$ 阶矩存在（即 $X\in L^n(p)$ ）
$$ \mathrm{E}X^n=\int_0^{\infty}nx^{n-1}[1-F(x)]\mathrm{d}x-\int_{-\infty}^0 nx^{n-1}F(x)\mathrm{d}x \tag{2} $$
类似的，如果 $X$ 只取非负整数，那么 (2) 式的第二项为 $0$，根据 $F(x)$ 是一个阶梯函数的情况：
$$ \mathrm{E}X^n=\sum_{k=0}^{+\infty}[(k+1)^n-k^n]P(X>k)=\sum_{k=1}^{+\infty}[k^n-(k-1)^n]P(X>=k) $$