Max–min inequality
一个矩阵，行最小值的最大值，不超过其列最大值的最小值。
设 $f:X \times Y\to \mathbf{R}$，则：
$$ \sup _{x}\inf_{y} f(x, y) \leq \inf _{y} \sup _{x} f(x, y) $$
证明：
$$ \inf _{y} f(x, y) \leq f(x, y) \leq \sup _{x} f(x, y) $$
如果$X, Y$都是紧集，那么可以写成：
$$ \max _{x} \min _{y} f(x, y) \leq \min _{y} \max _{x} f(x, y) $$
如果等号成立，就说$f$满足 saddle-point property。
例： $$ \sup_x \inf_y \sin(x+y)=\sup_x -1 \leq \inf 1=\inf_y \sup_x \sin(x+y) $$
Minimax theorem
minimax theorem 给出了 max-min inequality 取等号的一个充分条件：
- $f( \cdot, y): X \to\mathbf{R}$ concave
- $f(x, \cdot): Y\to \mathbf{R}$ convex
Sion
设 $X$ 为一个拓扑向量空间的凸紧集，$Y$ 是一个拓扑向量的凸集，若定义在 $X \times Y$ 上的实值函数 $f$ 满足：
- $\forall y \in Y$，$f(\cdot, y)$ 是定义在 $X$ 上的下半连续拟凸函数
- $\forall x \in X$，$f(x, \cdot)$ 是定义在 $Y$ 上的上半连续拟凹函数
则： $$ \min _{x \in X} \sup _{y \in Y} f(x, y)=\sup _{y \in Y} \min _{x \in X} f(x, y) $$ 因为不要求 $Y$ 是紧集，所以对 $y$ 取的是上确界而不是最大值。