如果 $A, B$ 都是正定矩阵，那么： $$ (A + B)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}(A^{-1} + B^{-1})^{-1}A^{-1} $$
根据 $A^{-1}B^{-1}=(BA)^{-1}$ 可以得到： $$ (A + B)^{-1} = A^{-1} (A^{-1} + B^{-1})^{-1} B^{-1} $$ 此外 $$ \begin{aligned} (A^{-1} + B^{-1})^{-1} B^{-1} & = (A^{-1} + B^{-1})^{-1} (A^{-1} + B^{-1} - A^{-1}) \\ & = I - (A^{-1} + B^{-1})^{-1}A^{-1} \end{aligned} $$ 两式结合即得： $(A + B)^{-1} = A^{-1}-A^{-1}(A^{-1} + B^{-1})^{-1}A^{-1}$