There are only two kinds of math books: those you cannot read beyond the first sentence, and those you cannot read beyond the first page.
—— C. N. Yang
度量空间 (Metric Space)
一个集合 $X$，在其上定义一个函数 $d$，满足：
- $d(p, q)>0$ if $p \neq q ; d(p, p)=0$;
- $d(p, q)=d(q, p)$;
- $d(p, q) \leq d(p, r)+d(r, q)$, for any $r \in X$. 这时候 $d$ 是一个距离函数，$(X, d)$ 构成一个度量空间。
由度量可以引出一大串的拓扑性质。
邻域 (Neighborhood)
A neighborhood of a point $p \in X$ is a set $N_{r}(p)$ consisting of all points $q$ such that $d(p, q)<r .$ The number $r$ is called the radius of $N_{r}(p)$.
内点 (Interior Point)
A point $p$ is an interior point of $E$ if there is a neighborhood $N$ of $p$ such that $N \subset E$.
开集 (Open Set)
$E$ is open if every point of $E$ is an interior point of $E$.
聚点 (Limit Point)
A point $p$ is a limit point of the set $E$ if every neighborhood of $p$ contains a point $q \neq p$ such that $q \in E$.
这意味着极限点总能找到一串点列去逼近它。
闭集 (Closed Set)
$E$ is closed if every limit point of $E$ is a point of $E$.
一个集合是闭集当且仅当它的补集是开的。
闭包 (Closure)
If $X$ is a metric space, if $E \subset X$, and if $E^{\prime}$ denotes the set of all limit points of $E$ in $X$, then the closure of $E$ is the set $\bar{E}=E \cup E^{\prime}$.
一个集合的闭包是包含这个集合最小的闭集。
度量空间的例子
-
离散度量 $$ \rho(x, y)= \begin{cases}0, & x=y \\ 1, & x \neq y\end{cases} $$
-
在 $\mathrm{R}$ 上定义度量 $$ \rho_{1}(x, y)=\frac{|x-y|}{1+|x-y|} $$
-
定义 $C^\infty[a, b]$ 为区间 $[a, b]$ 上无穷次可微的函数，定义度量 $$ \rho(f, g)=\sum_{\nu=0}^{\infty} \frac{1}{2^{\nu}} \max _{t \in[a, b]} \frac{\left|f^{(\nu)}(t)-g^{(\nu)}(t)\right|}{1+\left|f^{(\nu)}(t)-g^{(\nu)}(t)\right|} $$
赋范线性空间 (normed vector space)
如果 $X$ 是一个度量空间，$\mathrm{K}$ 是其对应的数域，则定义在 $X$ 的函数 $p(\cdot)$ 成为一个 范数(norm) 的条件是：
- $p(x) \geqslant 0 , \;\forall x \in X$ (positive semidefiniteness)
- $p(\alpha x) = |\alpha| p(x), \;\forall x \in X, \alpha \in \mathrm{K}$ (positive homogeneity)
- $p(x) + p(y) \leqslant p(x + y), \; \forall x, y \in X$ (the triangle inequality / subadditivity)
- $p(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ (positive definiteness)
满足前三个条件的称为半范数(seminorm)，半范数可以为非零的向量赋予零长度。
满足条件2和3的称为 sublinear function / quasi-seminorm / Banach functional
范数和半范数都是 sublinear function
sublinear function 是 convex function
赋范线性空间记为 $(X, \| \cdot \|)$。
当度量满足条件：
$$ \rho(x, y)=\rho(x-y, 0), \rho(\alpha x, 0)=|\alpha| \rho(x, 0) $$
可定义范数 $\| x\| = \rho(x, 0)$，度量空间可以成为一个赋范线性空间。
赋范线性空间的例子
-
在所有 $[a, b]$ 上的连续函数 $C[a, b]$ 可定义范数： $$ \|f\|=\max _{x \in[a, b]}|f(x)| $$
-
有界数列 $l^\infty$ 可定义范数： $$ \|x\|_{\infty}:=\sup _{i \geqslant 1}\left|x_{i}\right| $$
$L^p$ 空间
$L^p$空间是连接实变函数与泛函分析的钥匙。
任意给定一个 measure space $(X, \mathcal{B}, \mu)$，那些 $p$ 次幂 Lebesgue 可积的函数组成的全体就构成了 $L^p$ 空间。
因为
$$ |f+g|^{p} \leqslant(|f|+|g|)^{p} \leqslant 2^{p}\left(|f|^{p}+|g|^{p}\right) $$
$L^p$ 空间可以成为一个线性空间。如果函数是实值函数那么对应的数域就是 $\mathrm{R}$；如果是复值函数，那么数域就是$\mathrm{C}$。
进一步我们可以定义这些函数的范数：
$$ \lVert f\rVert_p=\int_X |f|^p \mathrm{d}\mu \quad (p\geq 1) $$
在证明范数的过程中，要用到 Hölder 不等式 $\|f g\|_{1} \leqslant\|f\|_{p}\|g\|_{q}$ 和 Minkowski 不等式 $\|f+g\|_{p} \leqslant\|f\|_{p}+\|g\|_{p}$
但这个范数只是半范数，几乎处处为0值的函数构成了 $L^p$ 的一个子空间，由此我们可以得到一个商空间，半范数也就成了范数。 $f$ 与 $g$ 几乎处处相等是这里的等价关系。
对 $p = \infty$，此时定义函数的本性上确界 $\mathrm{ess\,sup} f{}$ 为除去一个零测集外的最大的上确界
$$ \|f\|_{L^{\infty}}=\inf \{M:|f(x)| \leqslant M, x \in X\, \text { a.e. }\} $$
这个空间记作 $L^\infty$ 。
特别地，取 $X=N$ 表示全体自然数，$\mu$ 是 counting measure，这样就得到了 $p$ 次幂有界数列空间 $l^p$。
有了范数之后就能够讨论收敛性了
$L^p$ 下的依范数收敛：$\int_X|f_n(x)-f(x)|^p\mathrm{d}\mu\to 0, \,\; \text{as} \;\;n \to \infty$，在概率论里面叫做 converges in the r-th mean.
特别地，令 $1 \leq r \leq s$，$X_{n} \stackrel{L^{s}}{\longrightarrow} X \Rightarrow X_{n} \stackrel{L^{r}}{\longrightarrow} X$.
$L^\infty$ 下的依范数收敛：$\sup\limits _{X-E,\, \mu(E)=0}\left|f_{n}(x)-f(x)\right| \rightarrow 0$，其实就是除去一个零测集外的一致收敛。
这两种意义下的收敛都要强于依测度收敛（依概率收敛 converge in probability）。
对于 $1 \leq p \leq \infty$ 的情况，$L^p$ 空间是完备的。
对于 $0 < p < 1$ 的情况，Minkowski 不等式不再成立，因此不能藉此定义范数。
$L^p$ 空间是可分的
一般拓扑
$X$ 上的一个拓扑指的是满足如下条件的集类 $\mathcal{T} \subseteq 2^X$:
- $\emptyset, X \in \mathcal{T}$
- $\mathcal{T}$ 中任意个集合的并在 $\mathcal{T}$ 中
- $\mathcal{T}$ 中有限个集合的交在 $\mathcal{T}$ 中
$(X, \mathcal{T})$ 成为拓扑空间，$\mathcal{T}$ 中的集合称为开集，$X$ 中的元素称为点，任何开集的补集称为闭集。
如果对任何 $x, y \in X$，都能找到开集 $U, V$ 使得：
$$ x \in U, y \in V, \, U \cap V = \emptyset $$
则称 $(X, \mathcal{T})$ 为 Hausdorff 空间。
最简单的拓扑是 $\{\emptyset, X\}$，称为 discrete topology / trivial topology。当 $X$ 包含至少两点时，它不是 Hausdorff 的。
显然在一个集合上不止一种定义拓扑的方法，拓扑也有粗细之分，如果两个拓扑 $\mathcal{T}, \mathcal{T}^\prime$ 满足 $\mathcal{T} \subseteq \mathcal{T}^\prime$，就说 $\mathcal{T}$ 比 $\mathcal{T}^\prime$ 粗(coarser)，$\mathcal{T}^\prime$ 比 $\mathcal{T}$ 细(finer)。
在拓扑的这套框架下，可以定义内点集和闭包。
$$ A^\circ = \bigcup_{U \text{ is open}, \, U \subset A} U, \quad \bar{A} = \bigcap_{U \text{ is closed}, \, U \supset A} U $$
根据定义可以得到关系：
$$ A^\circ \subseteq A \subseteq \bar{A} $$
定义 $A$ 的极限点 $x$，如果任意一个 $x$ 的邻域交 $A$ 都包含至少两个点。$A$ 的极限点组成了 $A$ 的导集 $A^\prime$，且存在关系 $\bar{A} = A \cup A^\prime$。
在拓扑空间中，点列的收敛是用开集定义的。$\{x_n, n \geq 1\} \to x$ 的定义是，对于任意 $x$ 的邻域 $U$，都存在正整数 $N$，使得 $x_n \in U,\, \forall n \geq N$。在一般的拓扑空间中，点列的极限可能是不唯一的，但是 Hausdorff 空间中点列的极限是唯一的！
$T_1$ 公理 ($T_1$ axiom)
有限点集是闭集
Continuity
拓扑空间上的连续性由开集的原像是开集来表述，当然也可以用闭集的原像是闭集。 一个函数的连续性，不仅取决于这个函数本身，还取决于这个函数定义域和值域空间的拓扑！ 如果 $f: X \to Y$ 是连续函数，$Y$ 中的拓扑是 $\mathcal{B}$，那么只需要 $f^{-1}(B), \, \forall B \in \mathcal{B}$ 是开集即可保证 $f$ 的连续性。另外，连续性的一个等价条件是 $f(\bar{A}) \subset \overline{f(A)}$。
连续还有局部的定义：对 $f(x)$ 的每个邻域 $V$，都存在包含 $x$ 的开集 $U$ 使得 $f(U) \subset V$。
Homeomorphsim
同胚指的是连续并且逆映射也连续的双射。同胚保持拓扑性质。
Compactness
任意开覆盖都存在有限子覆盖的集合是紧集。(Every open covering contains a finite subcollection.)
紧集有非常多好的性质
- Hausdorff 空间中的紧集是闭的。
- 连续映射将紧集映成紧集。
- 任意个紧空间的直积是紧的。
每一个点列都有极限点的集合是列紧的。在可度量化的拓扑空间里，紧性和列紧是等价的。
Local Compactness
$X$ 是局部紧的，如果对于任意的 $x \in X$，都存在一个包含了 $x$ 的一个邻域的紧集。比如 $(\mathrm{R}, |\cdot|)$ 就是局部紧的。
one-point compactification.
由度量诱导的拓扑
度量可以自然的诱导出拓扑。